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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:bvb:29-opus-22607
URL: http://www.opus.ub.uni-erlangen.de/opus/volltexte/2011/2260/
Dynamics of Genealogical Trees for Type- and State-dependent Resampling Models
Dynamiken genealogischer Bäume für typen- und zustandsabhängige Resampling-Modelle
Piotrowiak, Sven
| SWD-Schlagwörter: |
| Markov-Prozess |
| Freie Schlagwörter (Deutsch): |
| Baumwertiger Markov-Prozess , markierte metrische Maßräume , Gromov-Prohorov-Topologie , genealogischer Baum , Martingalproblem |
| Freie Schlagwörter (Englisch): |
| Tree-valued Markov process , marked metric measure spaces , Gromov-Prohorov topology , genealogical tree , martingale problem |
| MSC - Klassifikation: |
| 60B05 , 60J25 , 60J25 |
| Fakultät: |
| Naturwissenschaftliche Fakultät |
| DDC-Sachgruppe: |
| Mathematik |
| Dokumentart: |
| Dissertation |
| Hauptberichter: |
| Greven, Andreas (Prof. Dr.) |
| Sprache: |
| Englisch |
| Tag der mündlichen Prüfung: |
| 10.01.2011 |
| Erstellungsjahr: |
| 2011 |
| Publikationsdatum: |
| 17.01.2011 |
| Kurzfassung in Englisch: |
| We study the evolution of the genealogy of an infinitely large population with different types in a neutral model, where the dynamics are affected by the types of the individuals or even additionally by the current composition of the population. More precisely, we study type- or even state-dependent resampling models in a large population limit, where we focus on the following two scenarios: The Weighted Sampling model, a model with infinitely many possible types, where the resampling rates depend only on the types of the individuals, and the Ohta-Kimura model, a model with only two types, where the resampling rates depend also on the type frequencies.
We code the genealogy by means of ultrametric spaces which exhibit tree-like structures. To be exact, we introduce the concept of marked metric measure spaces in order to obtain a suitable state space allowing to consider also type-dependent dynamics. The desired processes, the tree-valued Weighted Sampling dynamics and the tree-valued Ohta-Kimura dynamics, are then given as unique solutions of martingale problems. Moreover, we show that these processes arise indeed as diffusion limit of the corresponding tree-valued resampling models for finite populations.
As an application, we study the long-term behavior of our introduced processes which turns out to be essentially the same as for tree-valued Fleming-Viot dynamics, given by a Kingman coalescent tree. In addition, we characterize the set of invariant measures allowing to describe also the genealogy of an infinitely old population. |
| Kurzfassung in Deutsch: |
| Wir untersuchen die Evolution der Genealogie einer unendlich großen Population mit verschiedenen Typen in einem neutralen Modell, wobei die Dynamik von den Typen der Individuen oder sogar von der gegenwärtigen Zusammensetzung der Population beeinflusst wird. Dazu betrachten wir typen- und zustandsabhängige Resampling-Modelle im Diffusionslimes, wobei genauer die folgenden beiden Szenarien im Mittelpunkt der Untersuchung stehen: Das Weighted Sampling-Modell erlaubt es, unendlich viele verschiede Typen zuzulassen, wobei die Resampling-Raten nur von den Typen der Individuen abhängen. Im Ohta-Kimura-Modell existieren nur zwei verschieden Typen, jedoch hängen die Resampling-Raten zusätzlich von den relativen Häufigkeiten der Typen
ab.
Die Genealogie einer Population kodieren wir mit Hilfe von ultrametrischen Räumen, welche eine baumartige Struktur aufweisen. Wir führen genauer das Konzept der markierten metrischen Maßräume ein, um einen geeigneten Zustandsraum für typenabhängige Dynamiken zu erhalten. Die gewünschten Prozesse, der baumwertige Weighted Sampling-Prozess bzw. der baumwertige Ohta-Kimura-Prozess, werden dann als eindeutige Lösungen von Martingalproblemen charakterisiert. Außerdem zeigen wir, dass man diese Prozesse tatsächlich als Diffusionlimes der entsprechenden baumwertigen Resampling-Modelle für endliche Populationen erhalten kann.
Darüber hinaus untersuchen wir das Langzeitverhalten der eingeführten Prozesse,
welches im Wesentlichen dem Langzeitverhalten eines baumwertigen Fleming-Viot-Prozesses entspricht, welches wiederum durch einen Kingman-Koaleszenten beschrieben wird. Wir charakterisieren auch die Menge der invarianten Maße, was es uns ermöglicht, die Genealogie einer unendlich alten Population zu konstruieren. |
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